數(shù)學(xué)課堂重在引領(lǐng)學(xué)生探究

    人物介紹

張蜀青，理學(xué)博士，正高級教師，特級教師。國家高層次人才特支計劃教學(xué)名師，廣東省特支計劃教學(xué)名師，廣東省名教師工作室主持人。1993年7月至2023年7月在廣州市執(zhí)信中學(xué)擔(dān)任數(shù)學(xué)教師及學(xué)科組長。2023年8月作為人才引進，在廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院工作，任教高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育等課程。近年來在核心期刊發(fā)表多篇文章，作為主要撰寫人完成《問題驅(qū)動的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)——理論與實踐卷》等4本教育專著。    

作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)教師，在職業(yè)生涯前十多年里，我的注意力幾乎都集中在如何提高學(xué)生的考試分數(shù)上。我花費很多時間和精力下載試卷、比較試題，看看有什么題型或者新奇的解題方法沒有講過，然后趕緊在課堂上補充。當(dāng)時，我對自己工作的評價也停留在看平均分、合格率、優(yōu)秀率、最高分在全年級乃至全市、全省的排名。但是達到了這些目標(biāo)，就是一位真正優(yōu)秀的教師嗎？蘇霍姆林斯基對此已經(jīng)預(yù)先給出了答案：“不要讓上課、評分成為人的精神生活的唯一的、吞沒一切的活動領(lǐng)域?！彼J為知識既是目的又是手段，知識不是為了“儲存”，而是為了“流通”。

    問題驅(qū)動 重構(gòu)教學(xué)

經(jīng)過20多年課改，如今教師越來越注重關(guān)于知識的起源或應(yīng)用的講解。如新、舊版教材里《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》中，對橢圓的探究都是用“拉線作圖”畫出一個橢圓，從而給出定義：“平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（大于兩定點間距離）的點的軌跡叫作橢圓。”但這個探究方法是如何想到的？近十年來，不少教師和學(xué)者為此做了很多探索。有的教師使用折紙的辦法讓學(xué)生做出圓錐曲線，有的教師嘗試用著名的Dandelin雙球模型發(fā)現(xiàn)橢圓的焦點，還有的教師利用了橢圓的第三定義，但是這些仍然沒有解決“怎么想到的”這個問題，甚至有的方法還會因為要求運用過高的幾何證明而沖淡了主題。

如何創(chuàng)設(shè)出科學(xué)的問題情境，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)橢圓的性質(zhì)并給出其定義？縱觀圓錐曲線的發(fā)展，它的幾何性質(zhì)在公元前400年就被發(fā)現(xiàn)了，但直到17世紀(jì)，科學(xué)家在研究光學(xué)問題時發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的性質(zhì)可以用來解決相關(guān)問題，這才使得圓錐曲線再次被重視起來。電影放映機的工作原理正是利用了橢圓的幾何性質(zhì)。

于是我在課堂上從放映機的工作原理開始，首先拋出一個問題：“放映機上的透鏡會不會是圓球面的一部分？即透鏡的曲面截口線是不是一段圓?。俊睂W(xué)生們想到了反證法，先假設(shè)這是一段圓弧，則光線被透鏡反射后必經(jīng)原路返回到圓心O，不可能聚焦于異于圓心O的另外一點F，從而否定了這個假設(shè)。此時，我拋出第二個問題：“這條截口線應(yīng)該是什么樣的曲線？”有些預(yù)習(xí)了的學(xué)生根據(jù)教學(xué)進度猜測是橢圓，但是無法提供充分的理由。我提示學(xué)生們抓住光線反射原理這個關(guān)鍵點，終于有部分學(xué)生利用光線反射原理，借助法線和切線找到了截口線上的點到O、F兩點的距離之和為定值這一規(guī)律。緊接著我拋出第三個問題：“具有這個幾何性質(zhì)的點的軌跡是什么？你能畫出來嗎？”學(xué)生們借助用繩子畫圓的辦法畫出了橢圓，還在這個實踐中發(fā)現(xiàn)把繩子繃直固定在O、F處是無法畫出橢圓的，從而發(fā)現(xiàn)了O、F兩點之間的距離跟定值的關(guān)系。最后，我讓學(xué)生像直線、圓那樣給這條曲線寫出代數(shù)式。

與常規(guī)課堂不同的是，這節(jié)課除了推演，沒有任何練習(xí)環(huán)節(jié)。由于課堂時間只有40分鐘，起初，對于把寶貴的15分鐘放在做練習(xí)上，還是引領(lǐng)學(xué)生探索“橢圓是什么以及為什么”上，我有所糾結(jié)。但最終，我選擇了后者。做練習(xí)雖然能幫助學(xué)生鞏固對概念的理解，但屬于模仿，缺少探究性。課堂教學(xué)應(yīng)該把發(fā)展思維、培養(yǎng)核心素養(yǎng)放在首位，不妨把一些模仿、固化的環(huán)節(jié)留到課后。這節(jié)課通過設(shè)置科學(xué)的問題情境，由學(xué)生來完成對橢圓定義的再創(chuàng)造，每個知識要點都是學(xué)生實踐探索所得。這個過程雖然存在困難，但是克服困難才更能讓學(xué)生真正體會解決問題的快樂。

    課題探究 深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)是近幾年的熱門話題，很多教師認為深度學(xué)習(xí)就是加大例題、習(xí)題的難度。仔細閱讀教育部的文件和相關(guān)研究論述，可以發(fā)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)不僅強調(diào)深度思維，更強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)，關(guān)注教學(xué)的本質(zhì)，讓生本理念在深度學(xué)習(xí)中落實。因此，深度學(xué)習(xí)不是盲目加大難度，也不是課堂場面上的熱熱鬧鬧，而是通過師生間激烈深刻的思維碰撞，引領(lǐng)學(xué)生探索知識的本質(zhì)以及知識背后蘊含的思想。

以“統(tǒng)計”這一章為例，由于高考對這部分的考查傾向于應(yīng)用，多數(shù)時候只要把數(shù)據(jù)套入公式計算出結(jié)果即可，這就導(dǎo)致高中統(tǒng)計的學(xué)習(xí)成了統(tǒng)計公式的使用學(xué)習(xí)。學(xué)生學(xué)完這章感覺既簡單又艱澀：感覺簡單，是因為考試、作業(yè)套用公式就行，相對而言沒有太多思維量；感覺艱澀，是因為完全不知道這些公式因何產(chǎn)生，知識點之間的邏輯關(guān)系不清楚，很快就忘了。

于是，我針對這個板塊進行課題研究式教學(xué)。我根據(jù)學(xué)生小學(xué)、初中的統(tǒng)計基礎(chǔ)，把高中統(tǒng)計內(nèi)容分為三個子課題——獲取數(shù)據(jù)的方法、單個變量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析、成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，從而展開課題研究。在教學(xué)過程中，我發(fā)現(xiàn)了新的問題。由于小學(xué)初中學(xué)過抽樣、平均數(shù)、方差等知識，到了高中學(xué)這部分內(nèi)容時，很多學(xué)生提不起興趣，有些教師也覺得太簡單就一帶而過，導(dǎo)致高中的新增知識也被忽略了。

鑒于此，我決定改變教學(xué)方式。首先，指導(dǎo)學(xué)生通過閱讀官方發(fā)布的社會民生統(tǒng)計報告，了解統(tǒng)計報告的一般形式。其次，給學(xué)生布置兩個任務(wù)：在班級完成一個敏感問題的普查（敏感問題由學(xué)生在合法合規(guī)范圍內(nèi)自定）；運用所掌握的統(tǒng)計學(xué)知識，完成對本年級學(xué)生假期學(xué)習(xí)時長和睡眠時長的調(diào)查，包括運用所知道的統(tǒng)計工具分析數(shù)據(jù)、描述調(diào)查結(jié)果、撰寫調(diào)查報告。在這個活動中，學(xué)生們了解了所學(xué)的統(tǒng)計知識能解決什么問題，解決這些問題的價值與意義何在，以及想進一步解決更多問題還需要做什么探索。學(xué)生們對這個活動興趣很高，任務(wù)完成率達到100%，研究結(jié)果還在年級進行了展評。

在后續(xù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生們學(xué)會用類似的方式提出問題、查找資料、演繹推理，感受到統(tǒng)計知識的神奇所在。這種在教師引領(lǐng)下的學(xué)習(xí)新知，如同做課題研究，不但能幫助學(xué)生弄清楚每個知識點因何產(chǎn)生，向何處去，還能運用在實際生活中。這就是深度學(xué)習(xí)。

    掇菁擷華 行以致遠

數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)文化之間存在著密切關(guān)系，一個擁有豐富數(shù)學(xué)文化的人，通常對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有更強烈的興趣和動機。

2009年，我校一位2003屆的校友破解了一個學(xué)術(shù)界的重大難題，成為亞洲第一個在國際計算機視覺與模式識別會議（CVPR）拿到最佳論文獎的人。他在高中階段并不是一個愛刷題的人，但成績始終名列前茅。為此我特地問他有什么獨特的學(xué)習(xí)方法，他說自己每天完成功課之余就是讀書。著名科普作家、特級教師張遠南先生編寫的“數(shù)學(xué)故事叢書”，是他非常喜歡的一套書。他通過讀數(shù)學(xué)史厘清知識的來龍去脈，這對他后續(xù)的學(xué)習(xí)和工作產(chǎn)生了深遠影響。一個人若想在學(xué)術(shù)上有所創(chuàng)新，突破人類認知邊界，就必須有科學(xué)家的眼光和思維方式。這種能力無法靠刷題來培養(yǎng)，但可以通過弄清楚知識的生成過程而習(xí)得。后來，他還把“數(shù)學(xué)故事叢書”這套書送給了我，我也立即在課堂上分享給當(dāng)時所教的學(xué)生們。

近年來，越來越多的教師開始重視在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，但我認為，其形式不應(yīng)止于引進數(shù)學(xué)史和次數(shù)有限的文化欣賞，還應(yīng)運用數(shù)學(xué)文化中的數(shù)學(xué)思維方式和解決問題的方法去影響學(xué)生的思維模式，鼓勵他們創(chuàng)新與發(fā)展。雖然教師不可能把所有的學(xué)生都培養(yǎng)成科學(xué)家，但是每個學(xué)生都有其獨特的稟賦、愛好和特長，教師需要做的事情就是提供良好的條件，讓他們的能力得到充分的發(fā)展。其中重要途徑之一就是在教學(xué)中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓好奇和問題帶領(lǐng)學(xué)生沉浸在數(shù)學(xué)探索的過程中。

我始終認為，面向人的全面發(fā)展的數(shù)學(xué)課堂不應(yīng)該只有抽象的概念和難解的題目，數(shù)學(xué)教師要保持終身學(xué)習(xí)，不斷積累，使教學(xué)基于教材又高于教材，用鮮活生動的案例激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵他們不畏艱難、勇于探索數(shù)學(xué)的本質(zhì)，幫助他們學(xué)會欣賞數(shù)學(xué)之美，體驗發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的成就感。

《中國教育報》2024年06月07日第5版